Nguồn: stylewarning.com
Tóm tắt
Bài viết của Robert Smith phân tích và phản biện một paper đang gây chú ý trên internet: “All Elementary Functions from a Single Operator” của Andrzej Odrzywołek, cho rằng hàm exp-minus-log (EML) cùng với các biến và hằng số đủ để biểu diễn mọi elementary function. Paper này được một số người ca ngợi như “breakthrough” có thể làm lại nền tảng của computer engineering và machine learning.
Robert Smith chỉ ra rằng vấn đề nằm ở định nghĩa: Odrzywołek dùng định nghĩa “elementary” riêng của mình — 36 ký hiệu cụ thể theo góc nhìn máy tính khoa học — và trong định nghĩa đó, kết quả là đúng. Tuy nhiên, trong toán học chuẩn từ thế kỷ 19, “elementary function” có nghĩa rộng hơn nhiều: bắt đầu từ rational functions và đóng dưới arithmetic operations, composition, exponentiation, logarithms, và polynomial roots. EML terms không thể biểu diễn được polynomial roots trong trường hợp tổng quát.
Bằng chứng được xây dựng thông qua topological Galois theory của Khovanskii: mỗi EML term có monodromy group solvable, còn generic quintic polynomial (bậc 5) có monodromy group là S₅ — không solvable. Do đó, nghiệm của quintic tổng quát không thể được biểu diễn bằng EML terms. Điều này cho thấy tập EML terms là tập con thực sự của tập elementary functions theo định nghĩa chuẩn.
Kết luận của bài là EML không tương đương với Boolean NAND gate hay CCNOT/CSWAP gate của quantum computing như nhiều người diễn giải. Kết quả của Odrzywołek thú vị trong phạm vi định nghĩa giới hạn của ông, nhưng không đủ để làm lại nền tảng của computer engineering hay ML.